طبیعي ځواک ته د پیچلې شمیرې لوړول

په دې خپرونه کې، موږ به په پام کې ونیسو چې څنګه یو پیچلي شمیره ځواک ته پورته کیدی شي (په شمول د De Moivre فورمول کارول). نظري مواد د ښه پوهیدو لپاره د مثالونو سره دي.

ځواک ته د پیچلې شمیرې لوړول

لومړی، په یاد ولرئ چې پیچلې شمیره عمومي بڼه لري: z = a + bi (الجبریک بڼه).

اوس موږ کولی شو مستقیم د ستونزې حل ته لاړ شو.

د مربع شمیره

موږ کولی شو د ورته فکتورونو د محصول په توګه درجې استازیتوب وکړو، او بیا د دوی محصول ومومئ (په یاد ولرئ i² =-۵).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

مثال 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

تاسو کولی شئ هم وکاروئ، یعنې د مجموعې مربع:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – ب²

نوټ: په ورته ډول، که اړتیا وي، د توپیر مربع، د مجموعې / توپیر مکعب، او نور لپاره فورمول ترلاسه کیدی شي.

نهم درجې

یو پیچلی شمیره پورته کړئ z په قسم n ډیر اسانه که دا په مثلثیتیک شکل کې ښودل کیږي.

په یاد ولرئ، په عموم کې، د شمیرې یادونه داسې ښکاري: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

د توضیح کولو لپاره، تاسو کولی شئ وکاروئ د Moivre فورمول (دا نوم د انګلیسي ریاضي پوه ابراهیم ډی مویور په نوم یادیږي):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

فورمول د مثلث په بڼه لیکلو سره ترلاسه کیږي (ماډولونه ضرب شوي، او دلیلونه اضافه شوي).

مثال 2

یو پیچلی شمیره پورته کړئ z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) اتم درجې ته.

د حل

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).